Welcome to svlab

Member Login

Lost your password?

Not a member yet? Sign Up!

Предыдущий пост Следующий пост
06 Aug 2019

Решение уравнений с быстрыми функциями

 

Разработан метод решения систем структурных уравнений. Структурные уравнения могут служить обобщением дифференциальных и интегральных уравнений. Разработан подход сгущения сетки состояний для учета быстрых изменений функций. Метод был протестирован с помощью авторской программы SEM решения структурных уравнений. Численный эксперимент подтвердил работоспособность метода для решения произвольных систем уравнений с учетом дополнительных ограничений.

Введение

Структурные уравнения являются формой описания зависимостей между измеряемыми и латентными (не измеряемыми) переменными исследуемого объекта. Метод моделирования отношений между несколькими измеренными и латентными переменными оформился в 1970-х в работах статистиков К. Йореског и Д. Сербом [Joreskog 1979], социологов Г. Блэлок, О. Дункан [Duncan 1967, Blalock 1968], эконометристов А. Голдбергер [Goldberger 1975] и психометристов П. Бентлер [Bentler 1980]. В общем случае такие зависимости могут иметь нелинейный характер функций модели. Целью данной работы является разработка программы и метода решения произвольных систем структурных уравнений. Также разработка подхода для возможности эффективного программного решения уравнений с быстрыми функциями в пограничных и других слоях. Поскольку экспериментальные данные представлены выборкой значений измеряемых переменных у различных исследуемых объектов, для оценки параметров и значений латентных переменных структурной модели, задаваемой структурными уравнениями, может быть использован критерий минимальных невязок как сумма невязок модели вычисленных для всей выборки различных объектов. Дополнительно на параметры и значения латентных переменных могут быть заданы ограничительные условия. Для решения задачи минимизации невязок модели предлагается использовать методы нелинейной оптимизации с условиями: метод конфигураций. Ограничения, накладываемые на значения параметров и латентных переменных модели, учитываются с помощью метода штрафных функций. Предлагаемый метод решения произвольных структурных уравнений был протестирован с помощью программы SEM.

Математическая постановка задачи оценки параметров структурных моделей

В теории структурных уравнений используются следующие типы матриц. Матрица

Z\mathop{\leftrightarrow }\limits_{m\times n} z_{ij}

-- матрица значений измеряемых переменных у исследуемых объектов или состояний объекта размерности

m\times n

, где

m

-- число измеряемых параметров,

n

-- число объектов или состояний объекта (объем выборки). Матрица

P\mathop{\leftrightarrow }\limits_{g\times n} p_{ij}

-- матрица значений латентных переменных объектов размерности

g\times n

, где

g

-- число латентных параметров. Матрица

A\mathop{\leftrightarrow }\limits_{k\times s} a_{ij}

-- матрица параметров структурных уравнений размерности

k\times s

, где

k

-- число структурных уравнений,

s

-- число параметров в структурных уравнениях. Система структурных уравнений задается в виде:

\left\{\begin{array}{c} {f_{1} \left(a_{11} ,a_{12} ,\ldots ,a_{1s} ;p_{1t} ,p_{2t} ,\ldots ,p_{gt} ;z_{1t} ,z_{2t} ,\ldots ,z_{mt} \right)+\varepsilon _{1t} =0,} \\ {f_{2} \left(a_{21} ,a_{22} ,\ldots ,a_{2s} ;p_{1t} ,p_{2t} ,\ldots ,p_{gt} ;z_{1t} ,z_{2t} ,\ldots ,z_{mt} \right)+\varepsilon _{2t} =0,} \\ {\vdots } \\ {f_{k} \left(a_{k1} ,a_{k2} ,\ldots ,a_{ks} ;p_{1t} ,p_{2t} ,\ldots ,p_{gt} ;z_{1t} ,z_{2t} ,\ldots ,z_{mt} \right)+\varepsilon _{kt} =0.} \end{array}\right.

где

f_{1} ,f_{2} ,\ldots ,f_{k}

-- в общем случае нелинейные функции своих переменных,

\varepsilon _{1t} ,\varepsilon _{2t} ,\ldots ,\varepsilon _{kt}

-- невязки модели для t-го объекта или состояния объекта. На значения параметров и значений латентных переменных могут накладываться дополнительные условия в виде равенств и неравенств. Оптимальными значениями параметров и латентных переменных считается те значения, которые минимизируют абсолютные значения невязок модели и удовлетворяют всем дополнительным условиям.

Методы оптимизации

Оптимизацию критерия вращения, как функций от независимых переменных матрицы вращения с ограничениями, предлагается осуществлять методом штрафных функций [Банди, 1988]. В качестве метода безусловной оптимизации метода штрафных функций был выбран метод конфигураций [Кокуев, 2011].

Дифференциальные уравнения

Частным случаем структурных уравнений являются дифференциальные уравнения. В этом случае отдельные состояния t соответствуют дискретности по времени. Матрица

Z\mathop{\leftrightarrow }\limits_{m\times n} z_{ij}

-- матрица значений известных функций на временной сетке,

P\mathop{\leftrightarrow }\limits_{g\times n} p_{ij}

-- матрица значений неизвестных функций подлежащих определению,

A\mathop{\leftrightarrow }\limits_{m\times g} a_{ij}

-- матрица значений неизвестных параметров подлежащих определению, Например, рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

\frac{\partial p_{1} }{\partial z_{1} } =2z_{1}

, (1) где

p_{1} =f\left(z_{1} \right)

-- функция, зависящая от

z_{1}

,

p_{1} =p_{1} \left(t\right)

,

z_{1} =z_{1} \left(t\right)

-- функции времени. Такое дифференциальное равенство должно выполняться для каждого значения t. В конечно разностной структурной форме первого порядка дифференциальное соотношение имеет следующую форму:

\frac{p_{1t+1} -p_{1t} }{z_{1t+1} -z_{1t} } =2z_{1t} .

Таким образом, на частном примере показано соответствие дифференциальных и структурных уравнений. Решением этого уравнения является

p_{1} = z_{1}^{2}

.

Быстрые функции и пограничный слой.

Задача пограничного слоя характеризуется быстрыми изменениями функций в слое. Такой слой в общем случае может находиться в любом месте области определения функции. Чтобы эффективно использовать временную сетку, в области пограничного слоя сетка сгущается, чтобы отразить быстрые изменения функций. В тоже время там, где функция изменяется медленно, нет необходимости в высокодискретной сетке. Чтобы определить пограничный слой при решении структурного уравнения для функции задается величина

\alpha

являющейся пороговым значением для максимального изменения функции после, которого производится сгущение сетки. Для работы алгоритма решения структурных уравнений выбирается сетка максимальной размерности, из которой на предварительном этапе рассматриваются малое количество состояний. В случае определения больших изменений значений функций на сетке, превосходящих

\alpha

, сетка в окрестности этой точки сгущается, к вычислению добавляются новые состояния сетки. Таким образом, может производиться несколько сгущений сетки в процессе оптимизации параметров структурных уравнений. Для определения значений функции на всей исходной сетке возможно производить интерполирование. Чтобы не производить оптимизацию дополнительных значений, соответствующих скрытым состояниям временной сетки, в алгоритме оптимизации вводится соответствующая проверка на индексы вектора варьируемых параметров.

Численный эксперимент

В качестве численного эксперимента был произведен расчет дифференциального уравнения (1). Для параметра

\alpha

быстрых функций было выбрано значение 0,3. Начальная сетка была выбрана с шагом 0,1. Сгущение сетки производилось с уменьшением шага в 2 раза.

Рис. 1. График функции решения. Расчет дифференциального уравнения (1) с дополнительным ограничением

p_{1} \left(t=0\right)=0

. при

\alpha

= 0,3, произвело сгущение временной сетки состояний в интервале [1,6; 2].

Программная реализация

Решатель структурных уравнений реализован программно как Java приложение c интерфейсом пользователя. Приложение SEM доступно по адресу http://svlaboratory.org/blog/blog-single/articleid/36

Заключение

Предложен подход решения произвольных структурных уравнений на базе метода щтрафных функций. Разработана программа в которой возможно производить эффективное решение уравнений со сгущениями сетки состояний для подробного учета быстрых изменений функций.

Список литературы

K.G. Joreskog, D. Sorbom, Advances in factor analysis and structural equation models, edited by Jay Magidson, Cambridge, Mass.: Abt Books, 1979.

P.M. Blau, O.D. Duncan, A. Tyree. The American Occupational Structure. New York: Wiley and Sons, 1967.

H. Blalock , Theory construction. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1968. K.G. Jцreskog, A.S. Goldberger. Estimation of a model with multiple indicators and multiple causes of a single latent variable" // Journal of the American Statistical Association 70 (351): 631--639, 1975.

P.M. Bentler. Multivariate analysis with latent variables: Causal modeling // Annual review of psychology 31 (1), 419-456. 1980.

Банди Б. Методы Оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988. Кокуев А. Г. Оптимальное управление. Поиск экстремумов многомерных функций. АГТУ - Астрахань, 2011. 34с.

Шовин В.А. Нелинейные структурные уравнения и квадратичный факторный анализ. Математические структуры и моделирование. 2018. № 2 (46). С. 51-61.

Шовин В.А. Структурное, энтропийное моделирование и корреляционный анализ артериальной гипертензии. Математические структуры и моделирование. 2016. № 4 (40). С. 81-89.

Шовин В.А. Комплекс программ исследования структуры данных. Хроники объединенного фонда электронных ресурсов Наука и образование. 2015. № 8-9 (75-76). С. 56.

V.A. Shovin, V.V. Goltyapin Application of structural equations of hemodynamics in evaluation of efficiency of physiotherapy of arterial hypertension. Journal of Physics: Conference Series, V. 1210, conference 1.

В.A. Шовин Факторный анализ и другие альтернативные статистические методы диагностики артериальной гипертензии https://books.google.ru/books?id=yUKCDwAAQBAJ

SHARE:

#

Post dicussion

Контакты

Для связи svbeat@yandex.ru

  • 1