Программа экзамена кандидатского минимума по специальности 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (физико-математические науки)
Posted by Vladimir Shovin with 0 comments
ПРОГРАММА
экзамена кандидатского минимума по специальности 05.13,18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки).
* ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
1. Метрические, нормированные, гильбертовы пространства,
2. Линейные функционалы и операторы.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
1. Численные методы алгебры
2. Приближение функций
Дискретная математика
1. Графы
** Математическое программирование и теория игр
1. Линейное программирование (ЛП).
6. Дискретное программирование.
Математическое моделирование. Техническое и программное обеспечение
научных исследований
* ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
1. Метрические, нормированные, гильбертовы пространства,
Метрические пространства. Полнота. Непрерывные отображения, Компактные множества. Принцип сжимающих отображений, метод последовательных приближений и их приложения. Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Сильная и слабая сходимость. Задача о наилучшем приближении. Наилучшее равномерное приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье ([1], гл. I, V , VII; [2], гл. III - VI; [3] гл. II; [4], гл.IV).
2. Линейные функционалы и операторы.
Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора.
Сходимость операторов. Обратимость. Ряд Неймана Σ Аk и условия его сходимости. Теоремы о существовании обратного оператора. Мера обусловленности линейного оператора и ее применение при замене точного уравнения (решения) приближенным. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Принцип равномерной ограниченности, теорема Баиаха-Штейнгауза и ее приложения. Теорема Рисса (для гильбертова пространства). Спектр оператора. Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определенные, вполне непрерывные операторы и их спектральные свойства. Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов, решения уравнений и нахождения собственных значений (методы Ритца, Бубнова-Галеркнна, наименьших квадратов). Дифференцирование нелинейных операторов, производные Фреше и Гато. Метод Ньютона, его сходимость и применение. Теоремы Фредгольма для уравнений с вполне непрерывным оператором. Теорема Гильберта-Шмидта.
([1], гл. III - VII; [2], гл. VIII - XII; [3], гл. II: [4], гл. VI, VII; [5]. гл. I, IV; [б], гл. II; [7] гл. XII).
Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
Теорема существования и единственности решения задачи Кощи для линейных и нелинейных систем первого порядка. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Лцрейные уравнения и системы с переменными коэффициентами. Многообразие решений. Формула Лиувилля -Остроградcкого.; Теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий и от параметров. Гладкость решения по начальным данным и параметрам. Автономные системы. Классификация особых точек. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Предельные циклы. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка ([8], §3,7,8.10,12,14 - 18,21,23,24,26,28; [9], часть II, гл. I, §1)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
1. Численные методы алгебры
Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений, с полными матрицами и матрицами специального вида. Одношаговые итерационные методы. Чебышевские одношаговые итерационные методы. Оптимальный набор чебышевских параметров и вычислительная устойчивость. Трехчленные (двушаговые) чебышевские итерационные методы. Методы сопряженных градиентов решения линейных систем и спектральных задач. Применение методов регуляризации, минимизации сглаживающего функционала и итерационных методов для решения вырожденных, несовместных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений и интегральных уравнений 1-го рода ([I], гл. V: [4], гл. VI; [6], гл. IV, VII; [7], гл. XI; [10], гл. X; [11], гл. II, VI, VII, IX).
2. Приближение функций
Общие свойства ортогональных систем многочленов. Многочлены Лежандра и Чебышева; их свойства и приложения. Быстрое дискретное преобразование Фурье и его применение в теории приближений и методах решения задач математической физики, интерполяция сплайнами. Методы спуска для экстремума функционалов ([1], гл. VII; [4], гл. II, IV, VII: [5], гл. V; [6], гл. I -IV; [10], гл. X).
Дискретная математика
1. Графы
1. Способы задания графов. Необходимое и достаточное условие существования Эйлерова цикла. Гамильтоновы циклы и цепи. Теорема Оре. Теорема о характеризации деревьев.
2. Задача поиска минимального остовного дерева, алгоритмы Краскала и Прима. Задача о кратчайшем пути. Алгоритм Дейкстры.
3. Потоки в сетях. Теорема Форда - Фалкерсона. Метод расстановки пометок.
4.. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ). Машина Тьюринга. Элементы теории сложности. Классы Р и NP. ([12], [13], [14], [15], [16], [17])
** Математическое программирование и теория игр
1. Линейное программирование (ЛП).
1. Общая, стандартная и каноническая задачи ЛП. Теорема эквивалентности. Теорема о выпуклости допустимого множества.
2. Специальная задача ЛП. Симплекс-метод. Критерий остановки симплекс-метода. Конечность симплекс-метода. Метод искусственного базиса для канонической задачи ЛП.
3. Прямая и двойственная задачи ЛП. Основное неравенство двойственности. Достаточное условие оптимальности. Теоремы двойственности. Достаточное условие
разрешимости.
4. Транспортная задача, метод потенциалов. ([13], [14], [18])
2. Выпуклое программирование.
Критерий оптимальности задачи ВП. Совпадение локального и глобального минимума в задаче ВП. Критерий оптимальности задачи ВП. Метод возможных направлений. Теорема Куна-Таккера. ([19])
3. Динамическое программирование.
Динамические процессы, уравнение Беллмана. Сетевая модель планирования и управления. Алгоритмы Форда. Раннее и позднее расписание. ([14])
4. Теория игр.
Определение игры. Антагонистические игры. Теорема о минимаксе для матричных игр. Нахождение минимальных смешанных стратегий. Игра N лиц в форме характеристической функции. ([20])
5. Многокритериальные задачи, оптимальность по Парето. Свертки критериев
6. Дискретное программирование.
1. Задачи целочисленного программирования (ЦП), булево программирование. Примеры задач ЦП (задачи о покрытии, размещении, о рюкзаке, задача коммивояжера). Метод отсечения (двойственные дробные алгоритмы отсечения, отсечения Данцига, Гомори). Метод ветвей и границ (алгоритм Литота и др., схема Лэнд и Дойг). Метод регулярных разбиений в ЦП. ([14], [15]. [21]).
Математическое моделирование. Техническое и программное обеспечение
научных исследований
1. Основные виды научных исследований. Значение математики и вычислительной техники в научных исследованиях.
2. Основные этапы моделирования. Предварительное исследование моделируемого объекта. Постановка задач и определение типа модели. Требования к модели. Построение математической, алгоритмической и программной модели исследуемой системы. ([22], [23], [24])
3. Базы данных.
1. Основные определения и требования к базам данных. Три уровня описания и представления данных в базах данных. Реализация принципа независимости данных. Три классических модели описания данных. Их достоинства и недостатки.
2. Нормализация отношений - основа проектирования структуры базы данных. Требования к третьей нормальной форме.
3. Физическая организация баз данных. Классификация методов доступа. Методы доступа: В - дерево и инвертированные файлы. ([25], [26], [27])
4. Прикладное программное обеспечение научных исследований. Формы
представления комплексов прикладных программ (ППП), диалоговая система, примеры
библиотек и ППП общематематического назначения. Архитектура ППП и процесс
обработки входного задания. Архитектура диалоговой системы. Способы организации диалогового процесса исследований. Достоинства и недостатки использования проблемно-ориентированных языков моделирования. Факторы, влияющие на выбор языка. Пакеты и системы дискретного, непрерывного и дискретно-непрерывного моделирования. ([28]).
Планирование экспреримента, математические методы статистики, анализ данных.
1. Цели и методы планирования экспериментов. Математическая теория эксперимента: формулировка проблемы, классификация методов. Планирование регрессионных экспериментов, критерии оптимальности регрессионных планов. Планы 1-го и II-го порядков. Последовательные методы планирования эксперимента. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Задачи и планирование эксперимента при исследовании динамических объектов. ([29] - [33])
2. Основные характеристики и особенности массивов информации в научных исследованиях. Размерность, качественные количественные признаки, способы представления, механизмы и модели порождения данных, общая схема и основные этапы анализа данных. ([34])
3. Задача статистического оценивания параметров. Свойства статистических оценок. Методы статистического оценивания. Использование априорной информации (байесовский подход). ([35], [36])
4. Статистическая проверка гипотез. Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистической обработки данных. Общая схема статистического критерия. Построение статистического критерия, принципы отношения правдоподобия. Характеристики качества статистического критерия. Последовательная схема принятия решения. ([35], [36])
5. Методы структуризации данных. Задача классификации, механизмы порождения классификаций. Задача классификации объектов с "учителем", различные модели распознавания образов. Задача автоматической классификации (кластер -анализ), вариационный и статистический подходы, основные типы алгоритмов, проблема выбора числа классов. ([34], [37])
6. Методы структуризации параметров модели и методы факторного анализа, алгоритмы экстремальной группировки, выбор числа групп, нелинейные модели, особенности методов структурирования качественных признаков. ([34]).
7. Методы отображения и визуализации многомерных данных, методы и модели многомерного шкалирования, особенности использования алгоритмов для различных типов данных, связь методов многомерного шкалирования и методов классификации. ([34]).
8. Методы аппроксимации сложных зависимостей, построение прогностических и нормативных моделей. Регрессионные линейные и нелинейные модели. Методы кусочной аппроксимации зависимостей. Структурные регрессионные уравнения. Методы структурной минимизации эмпирического риска в задаче аппроксимации зависимостей. ([30], [34] ,[35], [36]).
Литература
1. Треногий В.А. Функциональный анализ. М: Наука, 1980.
2. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Физматгиз, 1958.
3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:
Наука, 1976.
4. Бахвалов Н.С. Численные методы, М.: Наука, 1973.
5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1961.
6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
7. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.
8. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М: Наука, 1974.
9. Смирнов В.И. Курс высшей математики. t.IV, части I и II. М.: Наука, 1981.
10. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
11. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960.
12. Харари Ф. Теория графов. - М. Мир, 1973.
13. Ху.Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.:Мир, 1974.
14. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная Оптимизация. Алгоритмы и
сложность. М.: Мир, 1985.
15. М. Гэри, Д. Джонсон. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.
16. Липский. В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1987.
17. Оре О. Теория графов. М.:Наука, 1980.
18. Юдин Д.Б., Голынтейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Советское радио, 1961.
19. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.
20. Оуэн. Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
21. Колоколов А.А. Методы дискретной оптимизации. Омск, 1984.
22. Кузмичев Д. А., Радкевич И. А., Смирнов А. Д. Автоматизация
экспериментальных исследований. Учебное пособие для вузов. М.:Наука,1983.
23. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Советское радио. 1971.
24. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М.: Мир, 1978.
25. Мартин Дж. Организация баз данных в вычислительных системах. М.: Мир, 1980.
26. Тиори Т., Фрай Дж. Проектирование структур баз данных. Т.2. М.:Мир, 1985.
27. Ульман Дж. Основы систем баз данных. М.:Финансы и статистика, 1983.
28. Шураков В.В., Алферова Э.В., Лихачева Р.Н. Программное обеспечение ЭВМ. Учебное пособие для вузов. М.:Статистика, 1979.
29. Хартман К., Лецкий Э. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М.:Мир. 1977.
30. Мирский Г.Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. М.Энергоиздат, 1982.
31. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1987.
32. Финни Д. Введение в теорию планирования экспериментов. М. Наука, 1970.
33. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования
эксперимента. М.: Металлургия, 1976.
34. Загоруйко. Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. Новосибирск: изд-во Ин-та математики, 1999.
35. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
36. Боровков А.А. Математическая статистика. -М.: Наука, 1984.
37. Верлаген К. и др. Распознавание образов. Состояние и перспективы.
• * Основная программа
• ** Специальная программа
Количество просмотров: 814